Каждый год в середине марта у людей, неравнодушных к точным наукам, появляется повод для особого настроения. Речь идёт о неофициальном, но горячо любимом многими празднике — Международном дне числа π. Считается, что своим появлением он обязан американскому физику Лоуренсу Н. Шоу, который прожил долгую и насыщенную жизнь с 1939 по 2017 год. Впервые идея отпраздновать этот день воплотилась в реальность в 1988 году в стенах научно-популярного музея «Эксплораториум» в Сан-Франциско. Прошло более двух десятилетий, и в 2009 году событие обрело официальный статус национального праздника Соединённых Штатов Америки.
Почему же выбор пал именно на 14 марта? Здесь всё изящно и просто. Если взглянуть на американскую традицию записи дат, где сначала указывается месяц, а затем день, мы получим 3.14. А это и есть то самое знакомое каждому со школьных уроков приближённое значение знаменитой математической константы.
Человек, стоявший у истоков праздника, запомнился современникам не только как учёный, но и как популяризатор науки, умевший превращать сложные идеи в увлекательное действо.
Любопытно, что в 2019 году ЮНЕСКО провозгласила 14 марта Международным днём математики. В нашей стране день числа π также начали отмечать примерно с того же времени, хотя официального статуса он так и не получил. При этом некоторые математики, отдавая дань уважения древнегреческому учёному Архимеду, первому сумевшему вычислить значение π с высокой точностью, предпочитают праздновать ещё и 22 июля. Эта дата соответствует записи числа π в виде дроби 22/7, что выглядит очень символично.
Архимед, чьё имя неразрывно связано с историей вычисления π, оставил после себя наследие, которым человечество пользуется до сих пор.
Вселенная, записанная языком математики
Мне всегда была близка мысль, которую приписывают великому итальянскому математику Галилео Галилею, жившему с 1564 по 1642 год. Он говорил, что математика — это язык, на котором Бог написал Вселенную, и чтобы понять устройство мира, необходимо понимать этот язык. Если принять такую точку зрения, то почему бы не предположить, что вся созданная Творцом Вселенная каким-то образом зашифрована в этом удивительном числе π?
Подобная идея находит отклик у многих любителей математики. И действительно, π — это иррациональное число с бесконечным количеством знаков после запятой. На сегодняшний день учёным удалось вычислить более 100 триллионов знаков после запятой, и это далеко не предел.
Главная прелесть π заключается в том, что его знаки не образуют повторяющихся последовательностей. Более того, π считается иррациональным и бесконечным, пока не доказано обратное. Это означает, что в бесконечной последовательности знаков рано или поздно можно обнаружить что угодно: собственный номер телефона, дату рождения или почтовый индекс. Стоит лишь задаться целью и вооружиться терпением.
Но ещё интереснее другое. Представьте, что мы пронумеруем каждую букву алфавита и знаки препинания числами, начиная с нуля. Пусть «А» будет равна нулю, «Б» — единице, и так далее до «Я», которой достанется число 32. Точка получит номер 33, запятая — 34, восклицательный знак — 35. При таком подходе можно утверждать, что в последовательности знаков числа π мы теоретически способны наткнуться на зашифрованную Библию или на произведение любимого автора. Это, безусловно, лишь вольное предположение, не имеющее точных математических доказательств, но как версия оно имеет право на существование, пока не будет опровергнуто.
Шифры, война и непредсказуемость π
Криптография — это наука о шифрах и кодах, и число π нашло своё применение даже здесь. Существует мнение, что впервые его начали использовать в криптографии во время Второй мировой войны. Знаки числа π применялись для шифрования информационных сообщений в войсках Соединённых Штатов и Англии. Точного описания того шифра я не нашёл, поэтому позволю себе предположить, что это был простейший шифр гаммирования, основанный на сложении в кольце целых чисел по определённому модулю.
Военные шифровальщики союзных войск работали в условиях строгой секретности, и их методы долгое время оставались засекреченными.
Принцип такого шифрования довольно прост, если разобраться в деталях. Сначала выбирается натуральное число, которое больше общего количества букв в алфавите, цифр и знаков, используемых для составления сообщений. Оно служит модулем для сложения. Затем каждой букве, цифре и необходимому знаку присваивается определённое двузначное число: 00, 01, 02 и так далее. Этот процесс иногда называют заменой. После этого составляется сообщение, в котором все символы заменяются на соответствующие двузначные числа. Далее вырабатывается псевдослучайная последовательность чисел — такая, которая близка к случайной, но её элементы вычисляются по определённой формуле. Наконец, числа сообщения складываются по модулю выбранного в начале натурального числа с числами псевдослучайной последовательности. В результате получается зашифрованное сообщение.
Я склонен думать, что в качестве псевдослучайной последовательности американские и английские шифровальщики использовали либо сами знаки числа π, либо, что более вероятно, вырабатывали из них псевдослучайную последовательность. Такой шифр, однако, не отличается высокой надёжностью. Если противник узнает, что лежит в основе псевдослучайной последовательности, сообщение можно будет легко расшифровать. Именно поэтому в современной криптографии чаще используются простые числа. Ярким примером служит RSA — шифр с открытым ключом, на который полагаются банковские системы, доверяя его практической стойкости.
Современные криптографические системы строятся на сложных математических принципах, где каждая деталь имеет значение.
От окружности к цифровым активам
Между тем криптография не собирается отказываться от красивого, бесконечного и иррационального числа π. Одной из последних областей его использования стали финансовые технологии, а именно криптовалюты. Если говорить совсем простым языком, криптовалюта — это последовательность блоков чисел, где каждый последующий блок вычисляется на основе предыдущих, а затем зашифровывается.
В некоторых случаях для всей последовательности или для каждого отдельного блока может быть вычислена контрольная сумма. Она помогает проверить, не была ли повреждена информация во время передачи — случайно или намеренно. Для вычисления контрольных сумм, как и для шифрования всей последовательности, используется псевдослучайная последовательность, элементы которой вырабатываются с использованием знаков числа π. Таким образом, древняя математическая константа продолжает служить человечеству в самых современных технологиях.
Путь длиной в тысячелетия
Изучая историю появления числа π, я прихожу к выводу, что оно сопровождало человечество всё время его разумного существования. Первое упоминание π можно соотнести с Третьей книгой Царств, глава 7, стих 23, где повествуется о строительстве храма Соломона. В тексте говорится о литом из меди море, которое было совсем круглым, высотой в пять локтей, а шнурок в тридцать локтей обнимал его кругом. То есть диаметр описываемого резервуара составлял десять локтей, а длина окружности — тридцать локтей. Соотношение длины окружности к её диаметру и есть число π. Правда, оперируя числами из текста, мы получаем приблизительное значение π, равное трём.
В пирамиде Хеопса на плато Гиза соотношение половины высоты к периметру основания также даёт приблизительное значение π. Единственная оговорка: основание пирамиды — это не круг, а прямоугольник, почти идеальный квадрат. Затем состоялись знаменитые вычисления Архимеда. Позже Уильям Джонс изменил название «числа Архимеда» на π, взяв за основу греческое слово «периметр», а Леонард Эйлер активно использовал это обозначение в своих научных трудах. В наши дни компьютерные тесты на скорость вычисления знаков числа π демонстрируют мощность процессоров. Наконец, криптография, GPS и финансовые инструменты активно используют это красивое, бесконечное число. π — это золотой ключик от дверцы в страну знаний, и каждый может попробовать повернуть его в замочной скважине собственного любопытства.